TD polynômes et fractions rationnelles avec indications/corrigés

jeudi 19 mars 2020
par  JL
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Les solutions sont à utiliser intelligemment !

Elles ne doivent pas vous affranchir de chercher les exercices. Lire un corrigé ne signifie pas savoir faire.

Elles se trouvent à la fin du TD.

  • Exercice 2 : Trouver tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $X(X+1)P’’+(X+2)P’-P=0$.

Notons que le polynôme nul est solution.

Si un polynôme $P\neq0$, de terme dominant $a_dX^d$ est solution, alors le coefficient de degré $d$ dans le membre de gauche de l’équation est $d(d-1)a_d+a_dd-a_d$ (valable aussi si $d=0$ ou $1$), et par unicité des coefficients, il doit être nul. Ce qui donne, comme $a_d\neq0$, $d=1$.

En réinjectant $P=aX+b$ dans l’équation, on obtient $a(X+2)-aX-b=0$ soit $b=2a$ et $P=a(X+2)$.

Réciproquement, si $P=a(X+2)$ avec $a\in\mathbb C$ (ce qui inclut $P=0$), alors $X(X+1)P’’+(X+2)P’-P=(X+2)P’-P=0.$

Les solutions sont donc les $\fbox{$a(X+2)$ pour $a\in\mathbb C$.}$

  • Exercice 4 : Scindé simple signifie scindé à racines toutes simples. Pour les questions 2 et 4, il faut utiliser un théorème d’analyse qui donne des informations sur l’annulation de la dérivée...
  • Exercice 10 : On pourra utiliser une formule de trigonométrie simplifiant $\cos(n+1)x+\cos(n-1)x$. Il faut savoir résoudre $\cos nx =0$ !

Documents joints

TD16 polynomes

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